Las fórmulas que se usaron en las pautas 2022–2026.
En simple: cuánta plata vale HOY un flujo que te llega todos los años para siempre.
Por qué: un peso de mañana vale menos que uno de hoy. Si sumas los infinitos flujos descontados, la suma no explota: converge justo a \(\frac{C}{r}\). Mientras más alta la tasa, menos vale el futuro.
Ejemplo: un local te deja arriendo de $120 al año para siempre, y la tasa es 10%: $$VP = \frac{120}{0{,}10} = \$1.200$$ O sea, ese contrato 'vale' $1.200 hoy. Fin.
Ojo: el flujo parte el PRÓXIMO período (t=1), no hoy. Y el valor de la empresa es este VP completo, no el VAN (no le restes la inversión cuando te piden 'valor').
En simple: lo mismo que la perpetuidad, pero los pagos se acaban en el año T (como un crédito o una concesión).
Por qué: una anualidad es una perpetuidad a la que le 'cortas la cola': perpetuidad que parte hoy menos perpetuidad que parte en T. Por eso aparece el \(\frac{1}{(1+r)^T}\) restando.
Ejemplo: te pagan $100 al año por 3 años, tasa 10%: $$A(3;10\%) = \frac{1}{0{,}1}\left[1-\frac{1}{1{,}1^{3}}\right] = 10\cdot(1-0{,}7513) = 2{,}487$$ $$VP = 100 \cdot 2{,}487 \approx \$249$$
Ojo: si los flujos parten en t=3 en vez de t=1, el resultado de la anualidad queda 'parado' en t=2: tienes que descontarlo 2 años extra con \(\frac{1}{(1+r)^2}\).
En simple: traer a hoy flujos sueltos, uno por uno. Y el precio de hoy es el precio esperado de mañana, descontado.
Por qué: cada flujo se 'achica' según cuántos años falten para recibirlo. Con incertidumbre, primero promedias los escenarios (valor esperado) y DESPUÉS descuentas.
Ejemplo: una acción puede valer $120 o $100 el próximo año (50/50) y su tasa CAPM es 10%: $$E(P_1) = 0{,}5\cdot120 + 0{,}5\cdot100 = 110 \quad\Rightarrow\quad P_0 = \frac{110}{1{,}1} = \$100$$
Ojo: el orden importa: se promedia el FLUJO, no el precio descontado. Y la tasa tiene que calzar con el riesgo de ese flujo (CAPM), no con cualquier tasa que ande dando vueltas.
En simple: son dos 'idiomas' para la misma tasa: compuesta normal y compuesta continua (interés que se capitaliza a cada instante).
Por qué: si capitalizas infinitas veces al año aparece el número \(e\). La equivalencia exacta entre idiomas es \((1+R)^t = e^{rt}\), así que traducir es sacar logaritmo.
Ejemplo: tasa discreta del 10%: $$r = \ln(1{,}10) = 9{,}53\%\ \text{continua}$$ Y descontar 9 meses en continua es multiplicar por \(e^{-0{,}0953\cdot 0{,}75}\).
Ojo: en derivados (forwards, put-call) casi siempre te dan la tasa continua y plazos en días/360. No mezcles idiomas dentro de un mismo cálculo.
En simple: cuánto retorno le tienes que EXIGIR a un activo según cuánto riesgo de mercado carga (su beta).
Por qué: lo único que el mercado te paga por soportar es el riesgo que NO puedes diversificar. Partes de la tasa segura y le sumas premio por cada 'unidad' de riesgo de mercado (β).
Ejemplo: con \(r_f = 3\%\), premio de mercado 6% y \(\beta = 1{,}5\): $$E(R) = 3\% + 1{,}5 \cdot 6\% = 12\%$$ Si la acción promete menos que 12%, está cara; si promete más, está barata.
Ojo: domina los usos inversos: te dan 2 acciones y despejas \(r_f\) y PRM con un sistema 2×2 (cayó igualito en 2024P y 2025P). Y el β de la deuda sale de \(\beta_d = \frac{R_d - r_f}{PRM}\).
En simple: el retorno de una mezcla es el promedio ponderado de los retornos de lo que mezclaste.
Por qué: si pones 60% de tu plata en A, el 60% de tu resultado viene de A. Sin magia: los retornos se promedian con los pesos.
Ejemplo: 60% en una acción que rinde 10% y 40% en depósito al 5%: $$E(R_p) = 0{,}6\cdot10\% + 0{,}4\cdot5\% = 8\%$$
Ojo: esto vale para el RETORNO. El riesgo (σ) NO se promedia así — para eso está la fórmula de la varianza con covarianza.
En simple: el riesgo total de una mezcla de 2 activos. No es el promedio de los riesgos: depende de si se mueven juntos o no.
Por qué: si los activos no bailan al mismo ritmo (correlación baja), sus caídas se compensan y el riesgo de la mezcla baja. Ese es TODO el punto de diversificar, y vive en el término \(2w_aw_b\rho\sigma_a\sigma_b\).
Ejemplo: mitad y mitad, \(\sigma_a = 20\%\), \(\sigma_b = 10\%\), correlación 0: $$\sigma_p^2 = 0{,}5^2(0{,}2)^2 + 0{,}5^2(0{,}1)^2 = 0{,}0125 \quad\Rightarrow\quad \sigma_p = 11{,}2\%$$ ¡Menos que el promedio de 15%! Eso regala la diversificación.
Ojo: no te comas el término de covarianza, y usa la correlación ENTRE las acciones — en 2024 Otoño te pasan también la correlación con el mercado para pillarte.
En simple: cuánto se mueve tu acción cuando el mercado se mueve 1%. β=2: te mueves el doble; β=0,5: la mitad.
Por qué: combina cuán volátil es tu acción \(\left(\frac{\sigma_i}{\sigma_m}\right)\) con cuánto de ese movimiento es realmente 'culpa' del mercado (\(\rho_{i,m}\)). Volatilidad propia sin correlación no es beta.
Ejemplo: \(\rho = 0{,}5\), \(\sigma_i = 30\%\), \(\sigma_m = 15\%\): $$\beta = 0{,}5\cdot\frac{0{,}30}{0{,}15} = 1$$ Se mueve harto (30%), pero solo la mitad viene del mercado → beta de mercado promedio.
Ojo: β de un portafolio sí es promedio ponderado (\(\beta_p = \sum w_i\beta_i\)), a diferencia del σ. Y β<1 = 'activo defensivo' (te lo preguntaron en 2026V).
En simple: qué fracción de tu plata metes al portafolio riesgoso y cuánta dejas en el activo seguro, según tu miedo (c).
Por qué: es un balance: más premio de mercado → más te tienta arriesgar (numerador). Más aversión y más volatilidad → más te frenas (denominador).
Ejemplo: premio 6% (\(E(R_m)=9\%\), \(r_f=3\%\)), aversión \(c=3\), \(\sigma_m^2 = 0{,}04\): $$\alpha^* = \frac{0{,}06}{3 \cdot 0{,}04} = 0{,}5$$ Mitad al portafolio de mercado, mitad al depósito.
Ojo: LA trampa favorita de FEN: si la utilidad es \(U = E - k\sigma^2\), entonces \(c = 2k\) (porque la fórmula trae \(\frac{c}{2}\)). Con \(U = E-\sigma^2\), c=2, no 1. Y si \(\alpha^*>1\), significa endeudarse a \(r_f\) para apalancarse.
En simple: cuánto retorno extra te pagó el portafolio por cada unidad de riesgo. Sharpe mide contra riesgo TOTAL, Treynor contra riesgo de MERCADO.
Por qué: si tienes toda tu plata en un solo fondo, te duele todo el riesgo (σ → Sharpe). Si es un fondo más dentro de una cartera diversificada, solo importa el riesgo que no se diversifica (β → Treynor).
Ejemplo: \(R_p = 10\%\), \(r_f = 2\%\), \(\sigma_p = 16\%\), \(\beta_p = 1{,}6\): $$\text{Sharpe} = \frac{0{,}08}{0{,}16} = 0{,}5 \qquad \text{Treynor} = \frac{0{,}08}{1{,}6} = 5\%$$
Ojo: la pregunta conceptual que SIEMPRE cae: ¿cuál usa quién? No diversificado → Sharpe; diversificado (ej. una AFP evaluando un gestor) → Treynor.
En simple: la receta para encontrar la MEJOR mezcla posible de 2 activos riesgosos (la que da más premio por unidad de riesgo).
Por qué: pondera el premio de cada activo castigando por su varianza y por lo que se pisan entre ellos (covarianza). El resultado es el portafolio al que después le aplicas el CAPM/α*.
Ejemplo: premios 6% y 3%, \(\sigma_a^2 = 0{,}01\), \(\sigma_b^2 = 0{,}04\), Cov = 0: $$w_a = \frac{0{,}06\cdot0{,}04}{0{,}06\cdot0{,}04 + 0{,}03\cdot0{,}01} = \frac{0{,}0024}{0{,}0027} \approx 0{,}89$$ 89% al activo A, 11% al B.
Ojo: no la memorices al pixel (la dan como hint), pero practícala UNA vez con \(Cov = \rho\sigma_a\sigma_b\), porque operar ese numerador/denominador con calma es donde se pierden los puntos.
En simple: endeudarse le agrega valor a la empresa SOLO por el ahorro de impuestos: cada peso de deuda perpetua suma \(T_c\) centavos de valor.
Por qué: los intereses se descuentan de impuestos, o sea el Estado 'paga' parte de tu deuda. Ese regalo anual, traído a valor presente con deuda perpetua, vale exactamente \(T_c \cdot D\).
Ejemplo: empresa sin deuda vale $1.000, \(T_c = 30\%\) y emite deuda por $400: $$V_L = 1.000 + 0{,}3\cdot400 = \$1.120$$ $$E = V_L - D = 1.120 - 400 = \$720$$
Ojo: si suben los impuestos, el escudo crece pero \(V_U\) cae MÁS → el valor total baja (lo preguntaron en 2023O y 2026V). Y sin impuestos, nada de esto existe: \(V_L = V_U\).
En simple: mientras más deuda tiene la empresa, más retorno exigen los accionistas, porque quedan con la parte más arriesgada de la torta.
Por qué: la deuda cobra fijo y primero; el accionista recibe lo que sobra. Con más deuda, ese 'sobrante' se vuelve más volátil → más riesgo → más retorno exigido. Sube linealmente con \(\frac{D}{E}\).
Ejemplo: \(\rho = 12\%\), \(R_d = 5\%\), \(\frac{D}{E} = 1\), \(T_c = 30\%\): $$R_e = 0{,}12 + 1\cdot(0{,}12-0{,}05)\cdot0{,}7 = 16{,}9\%$$
Ojo: D/E siempre a valor de MERCADO, y las conversiones son pan de cada examen: \(\frac{D}{V}=0{,}3 \Rightarrow \frac{D}{E}=\frac{3}{7}\). Si dicen 'los bonistas cobran con certeza', usa \(R_d = r_f\).
En simple: la 'traductora' de betas: te lleva del beta del negocio puro (sin deuda) al beta del accionista apalancado, y de vuelta.
Por qué: la deuda amplifica el riesgo del accionista igual que en M&M II, pero en unidades de beta. Si la deuda es segura (\(\\beta_d = 0\)) queda la versión corta (Hamada).
Ejemplo: \(\\beta_U = 1\), \(T_c = 30\%\), \(\frac{D}{E} = 0{,}5\), deuda segura: $$\\beta_L = 1\cdot[1 + 0{,}7\cdot0{,}5] = 1{,}35$$
Ojo: el procedimiento del comparable (cae SIEMPRE): CAPM al β del comparable → desapalancar con el D/E DEL COMPARABLE → reapalancar con TU D/E objetivo → WACC. Mezclar los D/E de las dos empresas es el error clásico.
En simple: la tasa promedio que le cuesta la plata a la empresa, mezclando lo que exigen accionistas y bonistas (con el descuento de impuestos de la deuda).
Por qué: cada fuente de plata pesa según cuánto aporta al valor total. La deuda entra con \((1-T_c)\) porque sus intereses ahorran impuestos: su costo 'real' es menor.
Ejemplo: \(\frac{E}{V} = 0{,}6\), \(R_e = 15\%\), \(\frac{D}{V} = 0{,}4\), \(R_d = 5\%\), \(T_c = 30\%\): $$WACC = 0{,}6\cdot15\% + 0{,}4\cdot5\%\cdot0{,}7 = 9\% + 1{,}4\% = 10{,}4\%$$ Y valoras: \(V = \frac{EBIT(1-T_c)}{WACC}\).
Ojo: el flujo que descuentas con WACC va SIN intereses (el beneficio de la deuda ya está en la tasa — si lo pones en ambos lados, lo cuentas doble). Y si la deuda es un monto fijo en vez de un % fijo → APV.
En simple: valorar en dos pasos: primero el proyecto 'a pelo' (como si no hubiera deuda) y después le sumas aparte el regalo tributario del financiamiento.
Por qué: cuando la deuda tiene calendario propio (un bono a 10 años, por ejemplo), el escudo fiscal es un flujo conocido año a año → se valora como anualidad, separado del negocio.
Ejemplo: VAN sin deuda = $100. Bono bullet de $1.000 al 5% por 10 años, \(T_c = 30\%\): escudo anual \(= 0{,}3\cdot0{,}05\cdot1.000 = \$15\). $$VP(\text{escudo}) = 15 \cdot A(10;5\%) = 15\cdot7{,}72 \approx \$116$$ $$APV = 100 + 116 = \$216$$
Ojo: la señal para usar APV en vez de WACC: te dan el CRONOGRAMA de la deuda (bullet, francés) y no un ratio D/V constante. En 2025V lo dicen casi textual: 'usted no conoce el apalancamiento del proyecto'.
En simple: la deuda tiene un dulce (escudo fiscal) y un veneno (riesgo de quiebra). El nivel óptimo es donde el próximo peso de deuda da tanto dulce como veneno.
Por qué: el escudo crece parejo con la deuda, pero los costos de quiebra crecen acelerando. En algún punto se cruzan las pendientes: ahí está el óptimo (derivar e igualar).
Ejemplo: si el próximo peso de deuda te ahorra $0,30 de impuestos (\(T_c = 0{,}3\)) pero te agrega $0,40 de costo esperado de insolvencia, ya te pasaste: el óptimo es donde \(T_c = CF'(D)\).
Ojo: la pregunta conceptual que acompaña: ¿de dónde salen esos costos? Quiebra (abogados, clientes que arrancan) y agencia (incentivos chuecos entre accionistas y bonistas).
En simple: el precio justo de una acción: todo el patrimonio a valor de mercado, repartido entre las acciones que existen.
Por qué: el patrimonio es de los accionistas por partes iguales. Si calculas bien E (con DCF, MM, lo que sea), el precio sale solo dividiendo.
Ejemplo: patrimonio a valor de mercado $5.000 y 100 acciones: $$P = \frac{5.000}{100} = \$50$$ Si en bolsa se transa a $40 → está subvalorada (compra); a $60 → sobrevalorada.
Ojo: E es a valor de MERCADO (el que calculaste tú), no el patrimonio contable del balance. Comparar tu P teórico contra el precio de mercado es la pregunta final típica de la Sección II.
En simple: repartir plata como dividendo o recomprando acciones da lo mismo para la riqueza del accionista (en el mundo M&M sin impuestos).
Por qué: el dividendo te pone plata en el bolsillo pero la acción cae en el mismo monto. La recompra deja el precio igual pero quedan menos acciones. En ambos casos: misma torta, distinto corte.
Ejemplo: P = $50, 100 acciones, la empresa reparte $500:
· Dividendo: $5 por acción → P cae a $45; tu riqueza = 45 + 5 = $50. ✓
· Recompra: compra \(\frac{500}{50} = 10\) acciones → P sigue en $50. ✓ Igualito.
Ojo: la secuencia de 2024 Otoño: anunciar/levantar deuda NO mueve el precio; el precio cae recién cuando SE PAGA el dividendo. Y con impuestos personales distintos (dividendo vs ganancia de capital) se rompe la irrelevancia.
En simple: cuando la empresa necesita plata y emite acciones nuevas: cuántas emite y qué le pasa al precio de los antiguos.
Por qué: las acciones nuevas se venden al precio de mercado vigente. Si ese precio ya incorpora las buenas noticias (el VAN del proyecto), emites menos acciones y los antiguos se diluyen menos.
Ejemplo: necesitas $300 y la acción vale $10: $$N_{nuevas} = \frac{300}{10} = 30\ \text{acciones}$$ Si revelar el proyecto sube el precio a $12, emites solo 25 → menos dilución.
Ojo: la moraleja de 2026 Verano: con emisión de ACCIONES conviene revelar el proyecto al mercado antes de emitir; con DEUDA da lo mismo (los bonistas cobran fijo).
En simple: un bono es una lista de pagos conocidos (cupones + principal al final). Su precio es traer toda esa lista a hoy con la tasa de mercado.
Por qué: si las tasas del mercado suben, los pagos fijos del bono valen menos hoy → el precio CAE. Precio y tasa son un sube-y-baja: es LA relación de renta fija.
Ejemplo: bono a 2 años, cara $100, cupón 10% anual, tasa de mercado 10%: $$P = \frac{10}{1{,}1} + \frac{110}{1{,}1^2} = 9{,}1 + 90{,}9 = \$100$$ Cupón = tasa → se transa 'a la par'.
Ojo: caso Arauco 2026V: si hay sobredemanda en la colocación, el precio sube → la tasa de colocación BAJA (por eso Arauco terminó pagando 3,97% y no 4,5%).
En simple: la duración es el 'centro de gravedad' en años de los pagos del bono, y de yapa te dice cuánto cae el precio si la tasa sube.
Por qué: mientras más lejos están los pagos, más les pega un cambio de tasa. La regla convierte eso en un número: % de caída ≈ duración modificada × cambio de tasa.
Ejemplo: bono con \(D = 3\), TIR 5%, y la tasa sube 1 punto: $$\frac{\Delta P}{P} \approx -\frac{3}{1{,}05}\cdot 0{,}01 = -2{,}86\%$$
Ojo: el concepto estrella: la relación precio-tasa es CONVEXA y la regla es una recta (tangente) → ante ALZAS de tasa la regla SOBRESTIMA la caída. Te piden dibujarlo (2026V): curva sobre la recta.
En simple: sacar la tasa 'limpia' a 10 años combinando bonos con cupones, armando un paquete que solo paga una vez al final.
Por qué: si compras 2 bonos de cupón 4% y vendes 1 de cupón 8%, los cupones se cancelan solitos (2×4 = 8) y te queda un flujo único al vencimiento → de ahí despejas la tasa cero cupón.
Ejemplo: el paquete cuesta $70 hoy y paga $100 en 10 años (continua): $$70 = 100\,e^{-10r} \Rightarrow r = \frac{1}{10}\ln\!\left(\frac{100}{70}\right) = 3{,}57\%$$
Ojo: no es una fórmula para memorizar: es lógica de no-arbitraje. Lo que hay que cachar es CÓMO elegir las proporciones para que los cupones intermedios se anulen.
En simple: cuánta riqueza CREA un proyecto: lo que valen sus flujos hoy, menos lo que cuesta echarlo a andar.
Por qué: si el VP de lo que recibes supera lo que pones, la diferencia es plata nueva para ti. VAN > 0 → hazlo; VAN < 0 → arranca.
Ejemplo: inviertes $1.000 y recibes $300 al año por 5 años, tasa 10%: $$VAN = -1.000 + 300\cdot A(5;10\%) = -1.000 + 300\cdot3{,}79 = +\$137$$ Se hace.
Ojo: tres trampas: con escenarios usa flujos ESPERADOS; la tasa es la del riesgo DEL PROYECTO (no el WACC de tu empresa — 2023O usa 13%, no 8,57%); y el máximo a ofertar en una licitación = el VAN completo.
En simple: una ecuación de equilibrio: call + plata para el strike = put + acción. Si los precios no cuadran, hay plata gratis (arbitraje).
Por qué: los dos lados de la ecuación pagan EXACTAMENTE lo mismo al vencimiento, pase lo que pase con la acción. Dos cosas que pagan igual deben costar igual hoy — si no, compras la barata y vendes la cara.
Ejemplo: \(S_0 = 100\), \(K = 100\), \(T = 1\) año, \(r = 5\%\) continua, call = $12: $$p = c + K e^{-rT} - S_0 = 12 + 100\,e^{-0{,}05} - 100 = 12 + 95{,}1 - 100 = \$7{,}1$$ Si la put de mercado vale $9 → está cara → la vendes y armas el paquete réplica.
Ojo: en 2026O piden la estrategia COMPLETA: detalla cada posición (larga/corta en acción, call, put, y el préstamo/depósito a \(r_f\)) y muestra el payoff en ambos escenarios (\(S_T \geq K\) y \(S_T < K\)).
En simple: combos de opciones para apostar a la VOLATILIDAD, no a la dirección: straddle = apuesto a que se mueve fuerte; butterfly = apuesto a que se queda quieto.
Por qué: el straddle gana si la acción se dispara pa' cualquier lado (la call cubre la subida, la put la caída). El butterfly paga más mientras más cerca de \(X_2\) termine la acción.
Ejemplo: straddle con \(K = 100\), primas $5 + $5 = $10: ganas si \(S_T\) sale del rango \([90, 110]\). En $130: call paga $30 − $10 de primas = +$20. En $100 clavado: pierdes las primas ($10).
Ojo: el método que puntúa: tabla de pagos POR TRAMOS de \(S_T\) + gráfico, y al final restar las primas pagadas / sumar las cobradas. Sin tabla no hay puntos (2025V).
En simple: el precio 'justo' para pactar HOY un dólar que se entrega en el futuro. Sale de comparar las tasas de las dos monedas.
Por qué: da lo mismo ahorrar en pesos o comprar dólares hoy y ahorrar en dólares — si no diera lo mismo, habría arbitraje. Por eso el forward es el spot 'corregido' por el diferencial de tasas.
Ejemplo: spot $900, tasa CLP 6%, tasa USD 2%, a 1 año: $$F = 900\cdot\frac{1{,}06}{1{,}02} \approx \$935$$ El peso se deprecia 'en el papel' porque su tasa es más alta.
Ojo: plazos en días/360 (90 días → \(\tau = 0{,}25\)). La pérdida por NO cubrirse = \((S_T - F)\times\) nocional (2025O). Y para valorar un forward YA firmado: strike descontado a tasa doméstica, spot a tasa extranjera.